Persamaan Diferensial

Persamaan Differensial

 


Konsep Dasar Persamaan Diferensial

Manusia hidup di dunia yang secara keseluruhan mengalami perubahan secara terus-menerus. Posisi bumi berubah terhadap waktu, kecepatan benda yang jatuh mengalami perubahan terhadap jarak, luas lingkaran berubah terhadap panjang jari-jari, lintasan peluru berubah terhadap kecepatan dan sudut elevasinya, dan panjang pegas berubah terhadap beban yang dipasang padanya.

Dalam bahasa matematika, besaran yang berubah-ubah itu dinamakan variabel (peubah). Besarnya perubahan yang terjadi pada sebuah variabel akibat perubahan variabel lainnya dinamakan derivatif (turunan). Persamaan yang menyatakan hubungan antara variabel-variabel tersebut dengan turunannya disebut persamaan diferensial. Berbagai bentuk persamaan diferensial dapat dijumpai sehari-hari, baik dalam ilmu-ilmu alam maupun ilmu-ilmu sosial. Dalam mata kuliah Persamaan Diferensial ini kita tidak akan mempelajari hubungan antara variabel dan turunan-turunannya, melainkan mempelajari hubungan antar variabel itu saja. Sebagai contoh dari sebuah kejadian tertentu, dapat diamati terjadinya perubahan variabel posisi (x) partikel dan besarnya perubahan tersebut terhadap waktu (t). Kita dapat menentukan bagaimana posisi partikel berhubungan dengan waktu, sehingga dapat diketahui dimana letak partikel pada waktu tertentu, pada saaat t. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa persamaan diferensial muncul pada saat sebuah hukum universal dinyatakan dengan mengetahui variabel-variabel dan turunan-turunannya. Kuliah persamaan diferensial akan membahas persoalan-persoalan dalam menentukan keterkaitan antar variabel berdasarkan informasi yang diperoleh dari variabel itu sendiri dan turunan-turunannya.

Kita akan menggunakan sebuah kejadian historis untuk menggambarkan munculnya persamaan diferensial di dalam ruang lingkup kurikulum yang sekarang digunakan dimana-mana. Selain itu akan dipelajari juga bagaimana terjadinya keterkaitan antara dua buah variabel yang terkait, dan akhirnya kita akan mampu menjawab pertanyaan yang sangat menarik dari hubungan tersebut di atas.

Pada tahun 1940, sekumpulan anak sedang mendaki lereng bukit di kota Lascaux, Perancis. Kemudian mereka menyadari bahwa anjing mereka menghilang. Ternyata anjing tersebut terjatuh ke sebuah lubang yang agak dalam sehingga tidak bisa memanjat naik ke permukaan tanah. Ketika seorang anak membungkuk untuk meraih anjing dari dalam lubang, ia menyadari bahwa lubang itu dulunya adalah atap dari sebuah gua kuno yang telah tertutup tanah. Di dinding gua terdapat lukisan domba betina yang sangat indah, kuda-kuda liar, lembu, dan gambar binatang buas mirip banteng, yang kelihatannya sedang mengamuk. Selain itu ditemukan juga arang sisa pembakaran.

Penemuan secara tidak sengaja ini tentu saja segera menyebar luas sampai ke kota Lascaux, dan banyak mengalami modifikasi alur kisah yang sebenarnya. Hal penting yang akan kita jawab adalah menentukan kapan penghuni gua hidup di tempat itu, berdasarkan analisa arang sisa pembakaran yang ditemukan.

Sudah umum diketahui bahwa arang merupakan hasil pembakaran kayu. Juga diketahui bahwa dalam setiap bahan organik yang telah mati, terjadi perubahan yang berhubungan erat dengan bertambahnya waktu. Kayu adalah bahan organik. Jadi arang mengalami perubahan yang sangat berkaitan dengan perubahan waktu. Semua organisme hidup mengandung dua jenis isotop karbon, yaitu C12 dan C14. Isotop C12 merupakan unsur yang stabil, sedang C14 bersifat radioaktif. Masing-masing isotop memiliki rasio yang tetap dalam tubuh setiap makhluk hidup. Tetapi pada saat organisme tersebut mati produksi C12 berhenti dan unsur C14 berkurang terus-menerus. Artinya rasio C14 terhadap C12 yang terdapat dalam oragnisme yang telah mati mengalami perubahan terhadap waktu. Dalam kasus ini, besaran yang mengalami perubahan adalah unsur C14 dan waktu. Ketetapan yang menyatakan perubahan besaran-besaran tersebut tidak dapat diselesaikan tanpa melibatkan turunan-turunannya, maka munculnya istilah persamaan diferensial.

Misalkan t menyatakan waktu terjadinya pembakaran yang menghasilkan arang, dan x menyatakan jumlah C14 yang ada di dalam batang kayu pada saat t, maka perubahan unsur C14 sejak saat t dinyatakan dengan simbol

image002

Jika diasumsikan bahwa laju perubahan C14 berbanding lurus dengan x (x adalah jumlah C14 yang terdapat dalam arang pada saat t), maka persamaan yang menunjukkan laju perubahan tersebut adalah

image004k > 0 adalah tetapan keseimbangan dan tanda negatif ( – ) menyatakan bahwa jumlah x yaitu jumlah C14 berkurang setiap saat. Persamaan (2) merupakan persamaan diferensial yang menyatakan bahwa laju perubahan C14 adalah sebesar k kali jumlah C14 pada saat terjadinya pembakaran. Jika k = 0,01 dan t diukur dengan satuan waktu, maka apabila x = 200 satuan pada suatu waktu tertentu, persamaan (2) menyatakan bahwa laju perubahan C14 pada waktu tersebut adalah 1/100 dari 200 atau 2 satuan per tahun.

Jika pada waktu t lainnya diketahui x = 50 satuan, maka persamaan (2) menyatakan bahwa laju perubahan C14 pada waktu itu adalah 1/100 dari 50 atau 0,5 satuan per tahun.

Tugas kita selanjutnya adalah merumuskan sebuah ketetapan yang berlaku secara umum dari persamaan (2). Ketetapan ini akan menyatakan hubungan antara variabel x dengan variabel t. Untuk itu persamaan (2) dikalikan dengan dt/x.

image006

…………………….…………………………….……………………….………………(3)

image008…………………….……………………………………………………………………..(4)

image010………………..………………………………………….………………………………..(5)

Meskipun persamaan (5) sudah menyatakan hubungan antara variabel x dengan variabel t, persoalan yang sebenarnya belum terjawab karena kita belum mengetahui nilai A dan k. Untuk itu, kita mencari informasi lain yang belum digunakan dalam persamaan di atas. Karena waktu t diukur sejak terjadinya pembakaran (pohon mati), maka t = 0 pada saat itu. Dengan mensubtitusikan t = 0 ke persamaan (5), diperoleh x = A.

Menurut para ahli kimia, kira-kira 99,876%*) C14 yang terkandung dalam organisme yang telah mati masih bertahan sampai 10 tahun. Berarti asumsi yang diambil setelah persamaan (1) di atas dapat diterima. Secara matematis, hal ini berarti bahwa pada saat t = 10, x = 0,99876A. Apabila nilai ini disubtitusikan ke persamaan (5), maka diperoleh nilai-nilai sebagai berikut:

0,99876A = Ae-10k

atau

0,99876 = e-10k…………………………………………………………………(6)

Sekarang kita dapat menentukan nilai k dengan dua cara. Cara pertama menggunakan tabel nilai untuk -10k, yang menghasilkan e-10k = 0,99876. Pembagian dengan -10 akan menghasilkan nilai k. Cara kedua, dengan melakukan perhitungan analitis, yaitu menerapkan logaritma natural terhadap persamaan (6).

ln 0,99876 = -10k

Dari tabel logaritma natural,

-0,00124 = -10k,…………………………………………………….…………(7)

maka k = 0,000124.

Persamaan (5) menjadi x = Ae-0,000124t……………………………………………………………….………(8)

dimana A adalah jumlah C14 yang terdapat dalam tumbuhan pada saat tumbuhan tersebut mati.

Persamaan (8) menyatakan hubungan antara variabel x dengan variabel t. Kita sudah dapat menjawab pertanyaan: kapan penghuni gua hidup di gua tersebut? Berdasarkan analisis kimiawi terhadap arang pembakaran, ahli kimia dapat menentukan rasio jumlah C14 terhadap C12 yang terdapat pada siswa pembakaran ketika gua ditemukan. Perbandingan rasio isotop pada saat sekarang dengan rasio pada saat terjadi pembakaran di gua, menunjukkan bahwa 85,5% C14 telah mengalami dekomposisi, karena itu 0,145A satuan C14 masih tersisa. Dengan mensubtitusi ke persamaan (8),

0,145A = Ae-0,000124t

0,145 =e-0,000124t

ln 0,145 = -0,000124t

-1,9310 = -0,000124t

t = 15573

Jadi, penghuni gua hidup sekitar 15.500 tahun yang lalu.

A. Apakah persamaan diferensial itu?

Persoalan mendasar di dalam kalkulus integral adalah menentukan integral dari fungsi f(x) yang dinyatakan sebagai berikut:

image012

dan menerapkan hasil integral tersebut untuk menyelesaikan sebuah persoalan lainnya. Dalam bentuk simbol-simbol, bentuk di atas dapat dinyatakan sebagai dy/dx = f(x). Kita akan mancari sebuah fungsi y(x) yang menenuhi persamaan tersebut, kemudian menerapkan fungsi itu sendiri.

Suatu fungsi yang memenuhi sebuah persamaan diferensial disebut integral, yaitu penyelesaian dari persamaan tersebut. Menyelesaikan persamaan diferensial artinya membuat fungsi tersebut “diketahui”. Sebuah fungsi dikatakan “diketahui”, jika dapat dinyatakan dengan sebuah bentuk yang standar dan familiar.

  • Jika sebuah fungsi f(x) diketahui dan dapat diintegralkan pada interval yang meliputi titik x = a, maka fungsi image014dikatakan “diketahui”. Fungsi ini sering disebut quadratur f(x) atau integral f(x).

  • Fungsi y dikatakan “diketahui” jika fungsi tersebut dicirikan oleh sebuah fungsi implisit image016

  • Fungsi yang dinyatakan dengan deret takhingga konvergen dikatakan “diketahui” apabila suku-suku deret tersebut dapat diketahui.
  1. No comments yet.
  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: