Nilai Awal dan Syarat Batas

Nilai Awal dan Syarat Batas

Link untuk mendownload buku rujukan utama dan pendukung pada halaman ini telah dihilangkan. Hal ini dimaksudkan agar hak cipta buku tersebut tidak dilanggar. Oleh karena itu password untuk mengakses halaman ini telah dihilangkan.

Penyelesaian Persamaan Differensial Linier Tak Homogen

Persamaan differensial linier orde pertama dan orde kedua masing-masing dapat dinyatakan dalam bentuk

image001

dan

image002

Jika f(t) bernilai 0, atau jika fungsi u(t) = 0 merupakan penyelesaian dari persamaan di atas, maka persamaan tersebut adalah persamaan differensial homogen. Jika tidak demikian, maka persamaan differensial yang bersangkutan dinamakan persamaan differensial linier tak-homogen.

image003

dan

image004

Bentuk umum dari sebuah persamaan homogen berorde satu adalah

image005

Penyelesaian umum persamaan ini dapat dilakukan dengan mengelompokkan variable yang sejenis, kemudian mengintegralkan masing-masing kelompok.

image006

Bentuk penyelesaian umum dari persamaan differensial linier tak-homogen sangat ditentukan oleh bentuk fungsi f(t) pada persamaan di atas. Persamaan differensial linier tak-homogen dengan koefisien konstan a, b, dan c, yang berbentuk

image007

dapat ditentukan sebagai jumlahan dari penyelesaian umum persamaan differensial linier homogen yang bersesuaian:

image008

dengan penyelesaian khusus dari persamaan differensial linier tak homogen.

Jika penyelesaian khusus untuk persamaan differensial linier tak-homogen dinyatakan sebagai y1(x) dan penyelesaian umum persamaan differensial linier homogen (penyelesaian komplementer) dinyatakan sebagai y2(x), maka penyelesaian umum dari sebuah persamaan differensial linier tak homogen dapat dirumuskan sebagai berikut

y(x) = y1(x) + y2(x)

Contoh:

Carilah penyelesaian dari persamaan differensial tak-homogen berikut ini:

image009

Penyelesaian:

Bentuk persamaan differensial tersebut di atas adalah persamaan differensial linier tak-homogen. Untuk mencari penyelesaian persaaman differensial linier tak-homogen tersebut, harus pula diketahui penyelesaian umum dari persamaan differensial linier homogen (persamaan komplementer) yang berbentuk:

image010

Penyelesaian umum dari persamaan ini adalah

image011

Jika fungsi y(x) dan turunan-turunannya disubtitusi ke dalam persamaan differensial homogen, diperoleh

image012

Persamaan differensial linier tak-homogen

image009

Memiliki penyelesaian

image013

Setelah disubtitusi ke dalam persamaan di atas, didapatkan

image014

penyelesaian khusus untuk persamaannya adalah


image015

Dan penyelesaian umum yang dicari adalah

image016


  1. No comments yet.
  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: